Herbert Stass wuchs in Berlin auf und besuchte später als Jugendlicher die Reichertsche Schauspielschule. Nach Ende des Zweiten Weltkrieges stand er am Hebbel-Theater auf der Bühne, später wechselte er zum Schillertheater.
Ab den 1940er Jahren tauchte sein Name auch in Kinoproduktionen auf, zum Beispiel in … und über uns der Himmel (1947), Madeleine und der Legionär (1958), Der 20. Juli (1955), Der Unsichtbare (1963) oder Der Tod im roten Jaguar (1968).
Seit den 60er Jahren trat Stass immer häufiger im Fernsehen auf, wo er in den verschiedensten Rolle seine Vielseitigkeit unter Beweis stellte. So spielte er besonders in vielen Serien des deutschen Fernsehen mit, so etwa Tatort, Derrick, Der Kommissar, Ein Fall für zwei, Der Alte, Der Fahnder, SOKO 5113, Wolffs Revier oder Die Männer vom K3. Für den Fernsehfilm Interview mit Herbert K. (1970), erhielt er den Adolf-Grimme-Preis.
Neben der Tätigkeit als Schauspieler war Stass auch ein beliebter Synchronsprecher, der Berühmtheiten wie Frank Sinatra, Clint Eastwood, Tony Curtis, Roger Moore, Dirk Bogarde, Dustin Hoffman oder Yves Montand seine Stimme lieh. Außerdem war er die erste Synchronstimme der Winnetou-Figur, verkörpert von Pierre Brice in dem Film Der Schatz im Silbersee.
Er war auch ein vielbeschäftigter Hörspielsprecher. So sprach er u. a. im letzten Paul-Temple-Mehrteiler des WDRs 1968 den Inspektor Crane in Paul Temple und der Fall Alex. Zu seinen Partnern gehörten beispielsweise Paul Klinger, Margot Leonard und Kurt Lieck.
Herbert Stass starb im Alter von 80 Jahren. Seine Grabstätte befindet sich auf dem Waldfriedhof Dahlem im Berliner Bezirk Steglitz-Zehlendorf.